Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 2: Tính tổng của dãy số

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 2: Tính tổng của dãy số

1. CHUYÊN ĐỀ 2: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ II.1. Phương pháp tách số hạng: 1. Dạng 1: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử là 1 và mẫu là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. 1.1. Ví dụ 1: Tính 1 1 1 1 S 1.2 2.3 3.4 2004.2005 Học sinh phải nhận dạng được mỗi số hạng của tổng có thể tách được như sau. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; 1.2 1 2 2.3 2 3 2004.2005 2004 2005 Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được. 1 1 1 1 1 1 1 1 2004 S 1 1 2 2 3 3 2004 2004 2005 2005 2005 1.2. Ví dụ 2: 1 1 1 Tính tổng S 9.10 10.11 2004.2005 Nhận xét: Ta thấy tổng này giống hệt như tổng ở ví dụ 1 ta dùng cách tách các số hạng như ở ví dụ 1: 1 1 1 1 1 1 S 9 10 10 11 2004 2005 1 1 1996 9 2005 18045 1 Nhận xét tổng quát: Nếu số hạng tổng quát có dạng: n n 1 1 1 1 Thì ta tách như sau: n n 1 n n 1 Từ đó ta có công thức tổng quát để tính tổng như sau: 1 1 1 1 S 1 1.2 2.3 n n 1 n 1 2. Dạng 2: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử số là 1, mẫu là tích hai thừa số hơn kém nhau “k” đơn vị. 2.1. Ví dụ 1: 1
2. 2 1 1 1.3 1 3 2 1 1 3.5 3 5 2 1 1 2003.2005 2003 2005 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1.3 3.5 2003.2005 1 3 3 5 2003 2005 1 2004 1 2005 2005 1 1 1 Mµ S 1.3 3.5 2003.2005 2 2 2 2004 2S 1.3 3.5 2003.2005 2005 2004 1002 S : 2 2005 2005 Chú ý: Thông qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai hay gặp: 1 1 1 là sai 3.5 3 5 M 1 1 Nhận xét tổng quát: với a-b=M b.a b a Bài toán tổng quát. 1 1 1 S với m=1;2;3 n a(a m) (a m)(a 2m) a n 1 m a nm n=1;2;3. 1 1 1 Sn m a a nm 3. Dạng 3: Mẫu các số tự nhiên liên tiếp. 3.1. Ví dụ 1: Tính tổng sau: 1 1 1 S n 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 Nhận xét đề bài: - Tử các số đều là 1 - Mẫu các số hạng đều là 3 tích số tự nhiên liên tiếp. 1 - Số hạng tổng quát có dạng n n 1 n 2 3
3. 1 1 1 1 1 1 1 S n 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 1 1 1 = 3 1.2.3 n 1 n 2 n 3 Bài toán tổng quát 1 1 1 S n 1.2.3 m 2.3.4 m 1 n n 1 n 2 n m 1 1 1 1 Ta có ngay S n m 1 1.2.3 m 1 n 1 n 2 n 3 n m 1 với m=2;3;4 n=1; 2; 3 Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy trong tổng 1 1 1 S n 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 Thì 3-1=4-2= =n+2-n=2 2 2 2 2S n 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 2S n 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n 1 n 2 1 1 1.2 n 1 n 2 1 1 1 => S n 2 1.2 n 1 n 2 Như vậy: 2m 1 1 * a a m a 2m a a m a m a 2m 3m 1 1 * a a m a 2m a 3m a a m a 2m a m a 2m a 3m Một số bài tập áp dụng Tính các tổng sau: 5
4. 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2S 1.3 3.5 2003.2005 1 3 3 5 2003 2005 1 2004 1 2005 2005 2004 1002 S : 2 2005 2005 2. Dạng 2:Các số hạng của tổng lớn hơn hoặc bằng 1 2.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau S 30 31 32 3100 Ta thấy mỗi số hạng sau gấp số hạng liền trước nó “2” lần . Cách làm tương tự như bài toán ở dạng 1 Ta có : 3S 31 32 3100 3101 2S 3101 1 3101 1 S 2 2.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau * Sn=1.2+2.3+3.4+ +n.(n+1) với n N Để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp 2 số ta nhân mỗi số hạng của tổng với 3. Thừa số 3 này được viết dưới dạng: 3-0 ở số hạng thứ nhất 4-1 ở số hạng thứ hai 5-2 ở số hạng thứ ba (n+2)-(n-1) ở số hạng thứ cuối cùng Ta có 3Sn=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+ + n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+ +(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2) n n 1 n 2 =>Sn= 3 Tổng quát cho 2 trường hợp trên ta có a n 1 1 S 1 a a 2 a n với n N ; 1<a N n a 1 7
5. k 1 k 2 = (ĐPCM) 2 Suy ra dự đoán trên là đúng n n 1 Vậy Sn=1+2+3+ +n= 2 Sau đây là một số bài tập tương tự Tính các tổng sau: * 2 1. Sn=1 + 3 + 5 + + (2n-1) với n N ĐS : Sn=n 2 2 2 2 * n n 1 2n 1 2. Sn=1 +2 +3 + +n với n N ĐS: Sn= 6 2 2 3 3 3 3 * n n 1 3. Sn=1 +2 +3 + +n với n N ĐS: Sn= 4 3 3 3 3 * 2 2 4. Sn=1 +3 +5 +(2n-1) với n N ĐS: Sn= n (2n -1) II.4. Phương pháp tính tổng thông qua tổng đã biết. Qua thực tế giải toán ta gặp những tổng của dãy số cần tính có thể biểu diễn qua tổng hữu hạn của tổng khác mà ta đã biết khi đó ta có thể biến đổi tổng cần tính làm xuất hiện các tổng mà ta đã biết kết quả. Việc làm như vậy có thể tính được tổng phức tạp thông qua tổng đã biết 1. Dạng 1: Tách tổng đã cho thành các tổng đã biết (tổng đã tính được) 1.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau * Sn=1.2+2.3+3.4+ +n.(n+1) với n N Ta thấy n.(n+1)=n2+n 2 2 2 2 Nên ta có Sn =1 +2 +3 + +n +1+2+ +n n n 1 2n 1 n n 1 6 2 n. n 1 n 2 3 Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên băng cách khác như sau: * Sn=1.2+2.3+3.4+ +n.(n+1) với n N 3Sn =1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+ + n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+ +(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2) 9
6. Qua thực tế giảng dạy áp dụng các phương pháp tính tổng vào các bài toán cụ thể tôi thấy: Vấn đề then chốt trong việc giúp học sinh tự mình khai thác tự mình tìm ra lời giải và giải các dạng bài toán tính tổng nói trên là: - Trang bị cho các em cách nhìn nhận, phân loại dạng bài, dự đoán kết quả. - Lập chương trình giải và giải bài toán đó. - Tổng quát hoá bài toán và tự lập cho mình một bài toán thông qua việc giải bài toán khác. Ví dụ như giải bài toán sau: 3 3 3 3 Tính tổng : S= 1.2 2.3 3.4 2004.2005 Ngay từ đề bài đa số các em nhận ra ngay bài toán này thuộc vào dạng 1 của phương pháp tách số hạng, nhưng chưa phản ứng nhanh để giải bài tóan này vì tử số của các số hạng lại không bằng 1 do đó không thể tách số hạng ngay được. Có một vài em phát hiện ngay lập tức đó là đặt thừa số “3” chung cho tất cả các số hạng như sau: 1 1 1 1 S=3. 1.2 2.3 3.4 2004.2005 Theo bài toán đã biết 1 S=3 1 2005 Căn cứ vào bài toán trên yêu cầu các em làm bài toán khác với tử số các số hạng là: 2; 4; 5; 6; ; k Do đó ta có bài toán tổng quát k k k k 1 S= k 1 1.2 2.3 3.4 n n 1 n 1 Cũng tương tự cách khai thác để tổng quảt bài toán có 1 em trong nhóm 5 đã có thể tổng quát được bài toán k k k k 1 1 1.)S 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 2 1.2 n 1 n 2 k k k 2.)S 1.2.3 m 2.3.4 m 1 n n 1 n 2 n m 1 k 1 1 m 1 1.2.3 (m 1) n 1 n 2 n m 1 11