Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên) - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương

Nội dung text: Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2022-2023 môn Toán (Chuyên) - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/09/2022) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1 (4,0 điểm).Cho dãy số ()xn thỏa 2 xn 3 xa1 0và(xn 11 x n 3 1) 2 x n 0,  n 1 .Chứng minh dãy ()xn có giới xn 1 hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó Bài 2 (4,0 điểm).Tìm tất cả hàm f : thỏa fxfy(() fy () fx ()) y ( y 1)(), fx  xy , Bài 3 (4,0 điểm).Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đƣờng tròn (O) và ngoại tiếp đƣờng tròn (I). Gọi D là hình chiếu của I trên BC, AD cắt lại (O) tại G. Lấy E và F lần lƣợt là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và cung lớn BC. Hai đƣờng thẳng ID và FG cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh rằng điểm H nằm trên đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác IBC. b) Gọi P là điểm trên đƣờng thẳng ID sao cho MP = MB và K trên đƣờng thẳng BC sao cho KP vuông góc PM, KI cắt FG tại N và MN cắt AI tại J. Chứng minh E là trung điểm của IJ. Bài 4 (4,0 điểm). Tìm tất cả các bộ số nguyên dƣơng (a; b; c) thỏa mãn: ab 1 | (a 1)c Bài 5 (4,0 điểm). Bạn A có một số chiếc thẻ thuộc ba loại thẻ: thẻ hai mặt đỏ; thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ; thẻ hai mặt vàng. Bạn ấy không phân biệt đƣợc màu sắc nên cần một máy scan để quét. Tuy nhiên máy này cũng chỉ có thể phân biệt đƣợc tất cả các mặt thẻ úp xuống đƣa vào trong máy có đều là màu vàng hay không. Nghĩa là nếu tất cả các mặt úp đều vàng nó sẽ báo vàng, còn chỉ cần có một mặt đỏ trong số đó thì nó báo không vàng. Mỗi lần bạn ấy có thể chọn bao nhiêu thẻ để đƣa vào cũng đƣợc. a) Chứng minh rằng nếu A có n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và n – 1 thẻ hai mặt vàng thì A có thể sử dụng máy để tìm ra thẻ hai mặt đỏ sau nhiều nhất là log2 n bƣớc. b) Xét dãy số Fibonacci ()Fn với F1 1, F 2 1, Fn 2 F n 1 F n , n 1. Với n 4 , giả sử bạn A có Fn thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và một thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ, còn
2. Câu hình: a) Gốc từ đề vào 10 chuyên Toán HN 2017-2018 b) Chia nhỏ thành các bài toán sau để giải: (1) CM: KNJ=90; (2) CM: tứ giác IHJN nt; (3) CM: tứ giác BHCN nt => B,I,N,C,J,H đồng viên => E là trung điểm IJ (do E là tâm (BIC)). 5a)ta cứ chia 2 số thẻ bài và cho vào máy,cứ chia đôi cho đến khi tìm đƣợc thẻ 2 mặt đỏ=>cần không quá [log_2(n)](chú ý:nếu 1 nửa số thẻ không có thẻ đỏ=>ta tiếp tục bằng các chia đôi nửa số thẻ còn lại, ) 5b)bổ đề F_[n] thẻ 2 mặt đỏ ở nhóm A theo giả thiết quy nạp cần không quá n-1 bƣớc =>cần không quá n bƣớc +)ở TH còn lại,thì ta lại lật tất cả các mặt của thẻ nếu tất cả các mặt cũng đều không vàng=>thẻ 2 mặt đỏ ở đây,theo giả thiết quy nạp cần không quá n-2 bƣớc=>cần không quá n bƣớc nếu tất cả các mặt đều vàng=>thẻ 2 mặt đỏ ở nhóm A và thẻ 1 mặt đỏ 1 mặt vàng ở nhóm B,mà F_[n-1] cần không quá n-1 bƣớc =>cần không quá n-1 nhƣ vậy,trong tất cả TH chỉ cần dùng tối đa n bƣớc