Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2021-2022 (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2021-2022 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1 NĂM HỌC 2021-2022 Môn: TOÁN - Lớp 6 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1:(3 điểm) a) Thực hiện phép tính b) Rút gọn biểu thức 219.273 15.49.94 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78 : 76 + 12021)]} A 69.210 210 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết: a) x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. b) 3.(5x - 1) - 2 = 70. c) 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3 Bài 3: (3 điểm) Chứng tỏ rằng: a) (3100+19990)  2 b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 Bài 4 (6,0 điểm) a) 10750 và 7375 b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. c) Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Bài 5 (4,0 điểm) Một nửa số ô vuông của một bàn cờ 8x8 được tô đen như hình vẽ sau. Có tất cả bao nhiêu hình vuông 2x2, 4x4, 6x6 mà có một nửa số ô vuông được tô đen?
2. Bài 2 a, x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. 0,5đ (4đ) 100x + (1 + 2+ 3+ + 99) = 5450 Lí luận tính tổng: 1 + 2+ 3+ + 99 = 4950 0,5đ khi đó 100x + 4950 = 5450 100x = 500 0,5đ Vậy x = 5 b,3.(5x - 1) - 2 = 70. 3.(5x - 1) = 70 + 2 0,5đ 3.(5x - 1) = 72 5x - 1 = 72 : 3 5x - 1 = 24 0,5đ 5x = 25 5x = 52 0,5đ Vậy x = 2 c, 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3 2x (1 + 2 + 22 + 23) = 960 2x .15 = 960 0,75đ 2x = 960: 15 2x = 64 2x = 26 0,25đ Vậy x = 6 Bài 3 (3đ) a) Ta có: 3100 = 3.3.3 .3 (có 100 thừa số 3) = (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1 19990 = 19.19 19 ( có 990 thứa số 19 ) = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận cùng bằng 1 Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 1,5 2 b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + 3 ) ( a N ) Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 Vì 4a 4 ; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4 1,5 Bài 4 a) Ta thấy: 10750 10850 4. 27 50 2100. 3150 (1) 0,75 (6đ)
3. Bài 5 Ta đánh số các dòng từ dưới lên trên là 1, 2 , , 8 và đánh số các cột 0,25 (4đ) từ phải sang trái là 1, 2 , , 8 . 0,5 Hình vuông 2 2 có một nửa số ô vuông được tô màu là các hình nằm trên các dòng 4 , 5 hoặc các cột 4 , 5 nên có tất cả 13 hình. Hình vuông 4 4 có một nửa số ô vuông được tô màu là các 1 hình nằm trên các dòng 3 , 4 , 5 và 6 hoặc các cột 3 , 4 , 5 và 6 nên có tất cả 9 hình. 1 Hình vuông 6 6 có một nửa số ô vuông được tô màu là các hình nằm trên các dòng 2 ,3 , 4 , 5 , 6 , 7 hoặc các cột 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 nên có tất cả 5 hình. 1 Vậy có 13 9 5 27 hình. 0,25 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6
4. Câu 6. (5,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a) Tính BD. b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 Câu Đáp án Điểm 12n 1 a) A = là phân số khi: 12n + 1 Z , 2n + 3 Z và 2n + 2n 3 0,5 3 0 0,5 n Z và n -1,5 Câu 1 12n 1 0,5 (3,0 điểm) b) A = = 6- 2n 3 0,5 A là số nguyên khi 2n + 3 Ư(17) 2n + 3 1; 17 0,5 n 10; 2; 1;7 0,5 1 1 1 1 1 1 a) Tính A = 20 30 42 56 72 90 Câu 2. 1 1 1 1 1 1 = - ( ) (4,0 điểm) 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 = - ( ) 4 5 5 6 6 7 9 10 0,5 1 1 = - ( ) 4 10
5. => 7x - 11 = 10 0,25 => 7x = 21 0,25 => x = 3 b) 3 x + 16 = - 13,25 => x + = 0,5 0,5 => x = - => x = -30 Câu 3 0,25 => x = -9 (3,0 điểm) 0,25 3 0,75 Số học sinh giỏi kỳ I bằng 10 số học sinh cả lớp 2 Số học sinh giỏi cuối bằng 5 số học sinh cả lớp. 0,75 Câu 4 2 3 0,75 (3,0 điểm) 4 học sinh là 5 - 10 số học sinh cả lớp. 1 1 10 10 số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4: = 40 0,75 (học sinh) 0,5 ababab = ab .10000 + ab .100 + ab Câu 5 0,5 = 10101. ab (2,0 điểm) Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3
6. * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax 0,25 - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B 0,25 - Suy ra: KB = KA + AB KB = 5 + 1 = 6 (cm) 0,5 0,25 0,25 * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm (Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
7. 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Biết P = và Q = 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và a + 21 = b. Câu III: (4.0 điểm) 1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y37 thì 13x +18y37 1 3 3 3 3 3 3 2) Cho A = ( )2 ( )3 ( )4 ( )2012 và B = ( )2013 : 2 2 2 2 2 2 2 2 Tính B – A Câu IV. (6.0 điểm) Cho xÂy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm. 1) Tính BD. 2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BĈD = 800, BĈA = 450. Tính AĈD 3) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK Câu V: (2.0 điểm) x 3 1 1) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 9 y 18 10n 3 2) Tìm số tự nhiên n để phân số B đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n 10 Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 Câu Nội dung Điểm
8. 2012 + 2011 2012 2013 0.75 Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q Kết luận: P > Q 0.25 b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có: + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21m; b = 21n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) 0.5 + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra: BCNN 21m; 21n 420 21.20 0.5 BCNN m; n 20 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra: 21m 21 21n 21. m 1 21n m 1 n (4) Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có 0.5 Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4). Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là: 0.5 a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105
9. a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax A nằm giữa D và B 0.5 BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm) 0.5 KL: 0.5 b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD => ACD + ACB = BCD 0.5 => ACD = BCD – ACB = 800 – 450 = 350 0.5 KL: . 0.5 c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0.5 - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 0.25 - Suy ra: AK + KB = AB 0.25 KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm) 0.25 0.25 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B 0.25 - Suy ra: KB = KA + AB 0.25 KB = 6 + 2 = 8 (cm) 0.25
10. Vậy GTLN của B = 13,5 khi n = 3. ĐỀ SỐ 3 PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG Môn toán lớp 6 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (2,0 điểm) a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99) 2 2 2 2 b) Tính tổng: A = 1.4 4.7 7.10 97.100 Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 + + 580. Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 6. b) M không phải là số chính phương. Câu 3 (2,0 điểm) 2n 5 a) Chứng tỏ rằng: , n N là phân số tối giản. n 3 2n 5 b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên. n 3 Câu 4 (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11. Câu 5 (2,0 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho x· Oy 30 ; x· Oz 70 ; x· Ot 110 a) Tính ·yOz và z· Ot b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao? c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.
11. M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52 M không phải là số chính phương. (Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2). Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm) 2n 5 a). Chứng tỏ rằng: , n N là phân số tối giản. n 3 Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d N n + 3  d và 2n + 5  d (n + 3) - (2n + 5)  d 2(n + 3) - (2n + 5) d 1d d = 1 N ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1 2n 5 ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 , n N là phân số tối giản. n 3 2n 5 b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên. n 3 2n 5 2(n 3) 1 1 Ta có: = = 2 - n 3 n 3 n 3 1 Để B có giá trị nguyên thì nguyên. n 3 1 Mà nguyên 1 M(n +3) hay n + 3 là ước của 1. n 3 Do Ư(1) = 1; Ta tìm được n = {-4 ; - 2} Câu 4: Giải Gọi số phải tìm là x. Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6. x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6 Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n . Do đó x = 60.n – 2; (n = 1; 2; 3 ) Mặt khác xM11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3 . Ta thấy n = 7 thì x = 418 M11
12. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + < - + - + + - = 1- <1 22 32 1002 1 2 2 3 99 100 100 Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa. ĐỀ SỐ 4 TRƯỜNG THCS NÔNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TRANG - T.P VIỆT TRÌ CẤP TRƯỜNG 2014 - 2015 MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phép tính. 3 3 3 3 3 24.47 23 a) A . 7 11 1001 13 24 47 23 9 9 9 9 9 1001 13 7 11 1 2 22 23 22012 b) M = 22014 2 Câu 2 (2,5 điểm) a) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52012. Chứng tỏ S chia hết cho 65. b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. c) Chứng tỏ: A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên) Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
13. 1 1 1 1 3 1 7 11 1001 13 1 C 1 1 1 1 3 0,25 9 1 1001 13 7 11 1105 Suy ra A 144 0,25 1 2 22 23 22012 M = 22014 2 - Đặt A = 1+2+22+23 + +22012 0,25 b - Tính được A = 22013 – 1 - Đặt B = 22014 – 2 - Tính được B = 2.(22013 – 1) 0,25 1 0,25 - Tính được M = 2 2,5 S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52012. 0,25 S = (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+ +52009(5+52+53+54) 0,25 a 2 3 4 2 Vì (5+5 +5 +5 ) =78065 Vậy S chia hết cho 65 0,25 Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6)  11 ;(a-1)  4; (a-11)  19. 0,25 b (a-6 +33)  11; (a-1 + 28)  4; (a-11 +38 )  19. 0,25 (a +27)  11; (a +27)  4; (a +27)  19.
14. 13 0,25 +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) 3 +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 1 +) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = (Loại) 3 +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2 53 +) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) 3 0,25 Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 1 1 1 1 1 0,25 b/ Chứng minh rằng : 42 62 82 2n2 4 Ta có 1 1 1 1 A 42 62 82 (2n)2 1 1 1 1 A b (2.2)2 (2.3)2 (2.4)2 (2.n)2 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 2 2 2 4 2 3 4 n 4 1.2 2.3 3.4 (n 1)n 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 4 1 2 2 3 3 4 (n 1) n
15. => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o 0,25 Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB 0,25 b Ta có : ·AOy 180o B· Oy 180o 48o 132o ·AOx 22o Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy 0,25 => ·AOx x· Oy ·AOy 22o x· Oy 132o x· Oy 132o 22o 110o 0,25 Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao 0,25 V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên · · · · o o o o o o o 0,25 c AOC COD AOD AOD a a 10 2a 10 2.50 10 110 Vì A· Ox ·AOD(22o 110o ) nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD => A· Ox x·OD ·AOD 22o x·OD 110o x·OD 110o 22o 88o 0,25 Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o 1,5 Chứng minh rằng A chia hết cho 24 5 Ta có : a A 103 102009 102008 102007 102006 8 8.125 102009 102008 102007 102006 8 0,25
16. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18/03/2015 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) ĐỀ SỐ 5 Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
17. Bài 5 (2,0 điểm) a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc ab ac 7 1 2015 94 b. Cho A (72012 392 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5 2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI- MÔN: TOÁN 6 NĂM HỌC 2014 - 2015 Bài Nội dung cần đạt Điểm 2 5 1 2 1 1 2.2 1 1.3 2 1 1,5 đ a. A= :5 .( 3)2 = 3 6 18 3 6 2 6 6 3 b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015 0,5 đ = 3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012 1,0 đ 1 1 1 1 22 32 42 20152 0,5đ c. C = 1 1 1 1 . . 1.3 2.4 3.5 2014.2016 1.3 2.4 3.5 2014.2016 (2.3.4 2015).(2.3.4 2015) 1 (1.2.3 2014).(3.4.5 2016) (4,5 đ) 0,5 đ 2015.2 2015 2016 1008 0,5 đ 2 2 2 x 3 12 x 15 1.0 đ a. Biến đổi được: (x - 3) = 144 12 ( 12) x 3 12 x 9 2
18. Lại có: 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125 0,5đ Nên: 2100 AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm 0,5 đ 0,5 đ b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức: 0,5 đ ·ABC ·ABD D· BC => D· BC ·ABC ·ABD = 550 – 300 = 250 1,0 đ c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên 0,5 đ tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD Tính được ·ABz 900 ·ABD = 900 300 600 0,5 đ